我来证一个：
首先分割的概念：假设有理数分为A，B两类，每类非空，且每一个有理数必属且仅属于一类。属于下类A的每一个数小于属于上类B的每一个数，这样的分类法称分割。
若A类有最大数，或B类有最小数，则分割A/B确定一个有理数。否则确定一个无理数。
有了这个概念，我们看：
做出确定1的分割：一切有理数b>1归入B类，一切有理数a<=0和正有理数a<1归入A类
我们有两个1，所以分割后将另一个的分割记作A'/B'
根据加法定义：满足a+a'<c<b+b'
(对任意a属于A，b属于B....)
的唯一实数c就是1+1
因此我们须证恒有 (a+a')^2 < 4 和 (b+b')^2>4
若a+a' > 0 （小于则显然成立）
则a与a'至少一个为正，从而a^2a'^2 < 1
知aa' < 1
从而 (a+a')^2 = a^2 +a'^2+2aa' < 1+1+2 = 4
同理可得 (b+b')^2 > 4
于是 a+a'<2<b+b'
这个唯一的数就是2
于是可知1+1=2
还有一种方法
证明：(1+1/k)^(k+1)是单调递减的数列，而显然它的极限也是e.假设存在l>0使得(1+1/l)^(l+1)<e（不可能相等，一个是有限的一个是无限的），则对任意k>l都有(1+1/k)^(k+1)<(1+1/l)^(l+1)则由极限的保续性可知(1+1/k)^(k+1)的极限<=(1+1/l)^(l+1)<e,这与(1+1/k)^(k+1)以e为极限矛盾，证毕！（至于为何递减你做比就知道了，前半部分你可以用类似的方法证明）
或
皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。
皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：
①1是自然数；
②每一个确定的自然数 a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数，例如，1的后继数是2，2的后继数是3等等）；
③如果b、c都是自然数a的后继数，那么b = c；
④1不是任何自然数的后继数；
⑤任意关于自然数的命题，如果证明了它对自然数1是对的，又假定它对自然数n为真时，可以证明它对n' 也真，那么，命题对所有自然数都真。(这条公理也叫归纳公设，保证了数学归纳法的正确性)
若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。
更正式的定义如下：
一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f)：
X是一个集合，x为X中一个元素，f是X到自身的映射
x不在f的值域内.
f为一个单射.
若 并满足:
x∈A 且
若 a∈A, 则f(a)∈A
则A=X.
该公理与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设:
1.N(自然数集)不是空集
2.N到N内存在a→a直接后继元素的一一映射
3.后继元素映射像的集合是N的真子集
4.若P任意子集既含有非后继元素的元素,又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与N重合.
能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理!
例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理(数学归纳法)的理论依据.
证明：
1+1的后继数是1的后继数的后继数，即3
2的后继数是3
根据皮亚诺公理④
可得：1+1=2 | 
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